Biểu diễn toán học của qubit Qubit

Qubit là một hệ lượng tử có hai mức được biểu diễn trong không gian Hilbert hai chiều. Trong không gian này, một cặp trạng thái lượng tử trực giao và chuẩn hóa được chọn để mô tả một hệ vật lý:

| 0 ⟩ = ( 1 0 ) , | 1 ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}

Dễ dàng thấy rằng các trạng thái | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } và | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } của qubit tương ứng với các giá trị nhị phân 0 và 1 của bit cổ điển. Các trạng thái này lập thành một cơ sở tính toán. Điểm khác biệt quan trọng chính là bit cổ điển chỉ có thể biểu diễn tại một thời điểm duy nhất một trạng thái 0 hoặc 1. Trong khi đó, với nguyên lý chồng chập, qubit có thể tạo thành một tổ hợp tuyến tính các trạng thái. Một trạng thái bất kỳ của qubit được viết dưới dạng:

| Ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }

trong đó, α {\displaystyle \alpha } và b e t a {\displaystyle beta} là các số phức và thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

p ( 0 ) = | α | 2 , p ( 1 ) = | β | 2 {\displaystyle p(0)=|\alpha |^{2},p(1)=|\beta |^{2}\,}

Hai biểu thức trên cho biết khi sau khi tiến hành phép đo, kết quả thu được hoặc 0 với xác suất | α | 2 {\displaystyle |\alpha |^{2}\,} hoặc 1 với xác suất | β | 2 {\displaystyle |\beta |^{2}\,} .

| α | 2 + | β | 2 = 1 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,}

Biểu thức tổng quát cho qubit trình bày ở trên có một ý nghĩa quan trọng: nó cho biết qubit là một sự chồng chập trạng thái kết hợp giữa | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } và | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } thay vì một hỗn hợp không kết hợp. Điều này dễ dàng thấy được nếu xét toán tử mật độ của qubit:

ρ ^ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = ( | α | 2 α β ∗ α ∗ β | β | 2 ) {\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |={\begin{pmatrix}|\alpha |^{2}&\alpha \beta ^{*}\\\alpha ^{*}\beta &|\beta |^{2}\end{pmatrix}}}

Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính cho biết sự liên kết của trạng thái | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } và | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } . Điều này cho phép qubit nhận một giá trị rõ ràng sau một phép biển đổi trục, điều mà không thể có được với hỗn hợp không kết hợp[3][4]. Chẳng hạn, khi áp dụng toán tử Hadamard lên qubit với trường hợp α = β = 1 2 {\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}} thì thu được:

H ^ ( 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ) = | 0 ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\right)=|0\rangle }

Biểu diễn qubit bằng quả cầu Bloch

Quả cầu Bloch là một quả cầu có bán kính đơn vị. Nó được sử dụng để biểu diễn các qubit một cách trực quan. Vị trí của mỗi qubit được xác định rõ ràng thông qua các tham số θ {\displaystyle \theta } và φ {\displaystyle \varphi } .

Điều kiện chuẩn hóa cho phép qubit được biểu diễn ở dạng tổng quát và tường minh hơn[5]:

| Ψ ⟩ = { cos ⁡ ( θ 2 ) | 0 ⟩ + e i φ sin ⁡ ( θ 2 ) | 1 ⟩ } e i γ {\displaystyle |\Psi \rangle =\left\{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle \right\}e^{i\gamma }}

vớ các tham số θ , γ {\displaystyle \theta ,\gamma } và φ {\displaystyle \varphi } là các số thực. Giá trị pha toàn cục γ {\displaystyle \gamma } không quan sát được nên có thể bỏ. Khi đó, biểu thức cho qubit có dạng:

| Ψ ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) | 0 ⟩ + e i φ sin ⁡ ( θ 2 ) | 1 ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle }

Các tham số θ {\displaystyle \theta } và φ {\displaystyle \varphi } xác định một điểm trên một quả cầu đơn vị 3 chiều, được gọi là quả cầu Bloch. Dễ dàng nhận thấy rằng có vô số tổ hợp giữa theta và phi nghĩa là sẽ có vô số điểm trên quả cầu. Từ luận điểm này, một người có thể mong đợi lưu trữ toàn bộ bách khoa toàn thư thế giới vào một qubit. Tuy nhiên, luận điểm này là sai. Điểm sai đầu tiên là quả cầu Bloch chỉ là biểu diễn toán học và không có cách nào xác định sự định hướng của qubit trong quả cầu này. Thứ hai, kết quả của phép đo trên qubit luôn cho 0 hoặc 1 với một xác suất cho trước. Sau phép đo, hàm sóng bị suy sụp.

Một điểm cần lưu ý là khi biểu diễn bằng quả cầu Bloch, những qubit nào trực giao với nhau thì vector bán kính của chúng đối song song với nhau. Đơn cử, các qubit | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } và | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } lần lượt được xác định tại điểm cực bắc và nam của quả cầu và chúng trực giao với nhau.

Các biến thể của qubit

Tương tự như qubit, nếu hệ được xét có d trạng thái hoặc mức khác nhau, hay nói cách khác là không gian Hilbert có d-chiều, thì hệ đó được gọi là qudit. Hiện nay, các hướng nghiên cứu cũng đã mở rộng sang cho hệ 3 mức, tức qutrit (tr- viết tắt cho tri-, nghĩa là 3).